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厕所中的武士刀——有趣的挂谷问题

  费弗曼主要从事古典分析的研究。他的崭新的概念、方法、思想给古典分析带来了新的冲击。1978年,费弗曼荣获数学领域的最高奖菲尔兹奖。

  在费弗曼的一篇自述中,他描述了他的两项贡献。其中一个是挂谷集与傅里叶分析之间的一个联系。傅里叶分析是分析学中18世纪逐渐形成的一个重要分支,主要研究函数的傅里叶变换及其性质。那么什么是挂谷集呢?这就要从有趣的挂谷问题谈起了。

  挂谷问题,由日本数学家挂谷宗一于1917年提出,又称“挂谷转针问题”。挂谷问题的原型如下:过去的武士须随时随刻防备敌人的偷袭,进厕所时也刀不离身。一位武士在上厕所时遭到敌人袭击,矢石如雨,而他只有一根短棒,为了挡住射击,需要将短棒旋转一周360°(支点可以变化)。但厕所很小,应当使短棒扫过的面积尽可能小。面积可以小到多少?

  这个问题的数学表述为:长度为1的线段在平面上做刚体移动(转动和平移),转过360度并回到原位置,扫过的最小面积是多少?

  数学家发现,在很多时候只需考虑旋转180°的情况。因此定义长度为1的线°,那这样的点集被称为挂谷集。这样就把挂谷问题转化为了求面积最小的挂谷集。

  我们试着来分析一下。首先考虑绕着线段一端转半圈的情形。毫无疑问地,这是个半径为1的半圆,面积是π/2≈1.571;

  容易发现如果将定点放在线段中点,面积会有所减少,为π/4≈0.785,这可能是最容易想到的答案;

  下面这种方案答案相同,但十分巧妙:将线段置于一个圆环内,可以算得,无论内圆的半径是多少,线段扫过面积总等于:

  那么面积还能更少吗?是的。在挂谷宗一提出这个问题后,有数学家发现,若这个线的正三角形中每一顶点处都旋转60°也符合要求,如下图。不难算出,线段扫过面积为:

  后来,挂谷宗一本人想到借助三尖内摆线。所谓内摆线,就是一个小圆在和一个固定的大圆内切地滚动时,圆上一点的轨迹:

  当小圆直径为1/2,大圆直径为3/2时,在三尖内摆线的切线,让此切线按类似在上述正三角形内的运动方式旋转,这时线段在旋转时始终与内摆线相切,它的两端也在内摆线上。如下图,黑点为切点,红点为线段中点:

  计算可得,这种情况下线。当时挂谷本人及其他许多数学家都认为这就是最小面积了。

  1920 年前苏联数学家贝西科维奇提出和解决了一个与挂谷问题类似的问题,并将它们称为孪生问题:是否存在一个面积为0的平面点集,它在每一方向上都有长度1的线度?

  在此基础上,贝西科维奇借助匈牙利数学家鲍尔的贡献,成功地解决了挂谷问题,示意图如下:

  他的结论出乎绝大多数人的意料:短棒扫过的面积可以任意地小(因而没有最小值)。

  虽然贝西科维奇给出了解答,但是这并不完美,因为如此构造出的挂谷集不是单联通的(他们得到的挂谷集有很多洞)。后来,经过数学家们的不断改进,1971年坎宁安在单位圆内作出面积可以任意小的单连通域挂谷集。

  之后,也有数学家研究挂谷问题的推广形式:比如1971年戴维斯证明了一条半径为1的圆弧转过,扫过的面积不能任意小。此外,将线段改为宽度很小的长方形这类问题也开始有人研究。

  用加、减、乘、除和括号,将“1949年4月18日”中的4个数:4,18,19,49进行计算,得到42。

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